公式から公式

公式を使ってから、さらにもう一度公式を使う因数分解の方法を解説します。

手順としては、式を部分的に公式に当てはめてカッコの部分ができるのでその部分を置き換えてから別の公式に当てはめるという感じです。

実際の例題を見てもらえば流れを掴みやすいと思います。

x2+6x+9-y2

▼部分的に公式2に当てはめる
(x+3)2-y2

▼カッコを置き換える
A2-y2

▼公式3に当てはめる
(A+y)(A-y)

▼置き換えた文字を戻す
(x+3+y)(x+3-y)

複雑な解き方のように見えるかもしれませんが、ひとつずつ見れば公式と置き換えが使えれば特に難しいことはないと思います。

さらにこの解き方にはあまりパターンがありません。基本的には公式2→置き換え→公式3の流れになってきます。

パターンがあるとすれば公式2を当てはめるのが後半部分になるくらいです。

9y2-x2-12x-36

▼後半部分をカッコでくくる
9y2-(x2+12x+36)
※カッコ内の符号が反転することに注意

▼カッコ内を公式2に当てはめる
9y2-(x+6)2

▼カッコを置き換える
9y2-A2

▼公式3に当てはめる
(3y+A)(3y-A)

▼置き換えた文字を戻す
(3y+x+6)(3y-(x+6))
(3y+x+6)(3y-x-6)

後半部分が公式2に当てはまる場合には符号に注意が必要です。最初の状態では公式2に当てはまらないですが、カッコでくくって符号を反転させることで公式2を適用できます。また最後に置き換えを戻すときにもマイナスが前にある部分があるので符号の反転を忘れずにおこないましょう。

練習問題

x2-16x+64-25y2

▼部分的に公式2に当てはめる
(x-8)2-25y2

▼カッコを置き換える
A2-25y2

▼公式3に当てはめる
(A+5y)(A-5y)

▼置き換えを戻す
(x-8+5y)(x-8-5y)

36-x2+4xy-4y2

▼カッコでくくる
36-(x2-4xy+4y2)

▼部分的に公式2に当てはめる
36-(x-2y)2

▼カッコを置き換える
36-A2

▼公式3に当てはめる
(6+A)(6-A)

▼置き換えを戻す
(6+x-2y)(6-(x-2y))
(6+x-2y)(6-x+2y)